卷五百七 列传二百九十四
　李潢汪莱陈杰丁兆庆张福僖时曰淳李锐黎应南

　骆腾凤项名达王大有丁取忠李锡蕃谢家禾吴嘉善

　罗士琳易之瀚顾观光韩应陛左潜曾纪鸿夏鸾翔

　邹伯奇李善兰华衡芳弟世芳

　李潢，字云门，锺祥人。乾隆三十六年进士，由翰林官至工部左侍郎。博综群书，尤算学，推步律吕，俱臻微妙。著九章算术细草图说九卷，附海岛算经一卷，共十卷。

　其自序重差图云：“图九，望远，海岛旧有图解，馀八图今所补也。同式形两两相比，所作四率，二三率相乘，与一四率相乘同积。如作图明之，第取一三率联为一边，又取二四率联为一边，作相乘长方图之，自然分为四冪。又以斜弦界为同式句股形各二，则形势验矣。旧图于形外别作同积二方，至两形相去辽远者，又必宛转通之，皆可不必也。图中以四边形、五边形立说，似与句股不类，然于本形外补作句股形，则亦句股也。四率比例法，在九章粟米谓之今有，一为所有率，二为所求率，三为所有数，四为所求数，在句股则统目之为率。刘氏注云：‘句率股率，见句见股者是也。’今祗云同式相比者，取省易耳，异乘同除则一也。”书甫写定，潢即病。俟吴门沈钦裴算校，方可付梓。越八年，其甥程矞采家为之校刊，以成其志。

　九章初经东原戴氏从永乐大典中录出，一刻于曲孔氏，再刻于常屈氏，悉依戴氏原校本刊刻。其时古籍甫显，校订较难，不无间有扞格，自是天下之习九章者，莫不家L3一编，奉为圭臬。而刘徽九章亦从此有善本矣。潢又尝因古算经十书中，九章之外最著者，莫如王孝通之辑古。唐制开科取士，独辑古四条限以三年，诚以是书隐奥难通。世所传之长塘鲍氏、曲孔氏、罗江李氏各刻本，又悉依汲古阁影宋本，祗有原术文而未详其法，且复传写脫误。虽经城张氏以天元一术推演细草，但天元一术创自宋、元时人，究在王氏后，似非此书本旨。爰本九章古义，为之校正，凡其误者纠之，阙者补之，著考注二卷。以明斜袤广狭割截附带分并虚实之原，务如其术乃止。稿未成，潢殁后，为南丰刘衡授其乡人，以西士开方法增补算草，并附图解，刻于江西省中，喧宾夺主，殊其真。矞采取江西刻本削去图草，仍以原考注刊布。

　武进李兆洛为之序，曰：“辑古何为而作也？盖阐少广、商功之蕴而加焉者也。商功之法，广袤相乘，又以高若深乘之为立积，今转以积与差求广袤高深，所求之数，最小数也。曷为以最小数为所求数？曰，求大数，则实方廉隅，正负杂糅。求小数，则实常为负，方廉隅常为正也。观台羡道，筑堤穿河，方仓圆囤，刍甍输粟，其形不一，概以从开立方除之何也？曰，一以贯之之理也。物生而后有象，象而后有滋，滋而后有数。斜解立方，得两巉堵，一为马，一为鳖臑。马居二，鳖臑居一，不易之率也。今于平地之馀续狭斜之法，无论为巉堵、为马、为鳖臑，皆作立积。观其立积內不以所求数乘者为减积，以所求数一乘者为方法，再乘者为廉法，所求数再自乘为立方，即隅法也。从开立方除之，得所求数。若绘图于纸，令广袤相乘，以所求数从横截之。剖平冪为若干段，又以截高与所求数乘之。分立积为若干段，若者为减积，若者为方，若者为廉，若者为隅，条段分明，历历可指。作者之意，不烦言而解矣。其云廉母自乘为方母，廉母乘方母为实母者之分，开方之要术也。先生于是书立法之，如锯解木，如锥划地，又复补正脫误，条理秩然，信王氏之功臣矣！爰述大旨，以告世之习是书者，无复苦其难读云。”

　汪莱，字孝婴，号衡斋，歙县人。年十五，补博士弟子。弱冠后，读书于吴葑门外，慕其乡江文学永、戴庶常震、金殿撰榜、程徵君易畴学，力通经史‮家百‬及推步历算之术。嘉庆十二年，以优贡生入都，考取八旗官学教习，会御史徐国楠奏请续修天文、时宪二志，经大学士首举莱与徐准宜、许澐入馆纂修。十四年，书成。议叙，以本班教职用，选授石埭县训导。十八年，应省试，得疾归，卒于官，年四十有六。先是十一年夏，黄河启放王营减坝，正溜直注张家河，会六塘河归海。两江督臣奉上命，查量云梯关外旧海口与六塘河新海口地势高下，延莱测算，盖其算之名，久为官卿所知。曾制浑天、简平、一方各仪器观测。

　与郡人巴树穀最友善，客江、淮间，又与焦孝廉循、江上舍籓、李秀才锐，辩论宋秦九韶、元李冶立天元一及正、负开方诸法。天敏绝，极能攻坚，不肯苟于著述。凡所言，皆人所未言，与夫人所不能言。

　尝以古书八线之制，终于三分取一，用益实归除法求之，其一表之真数，仅得十之二。因悟得五分之一通弦与五分之三通弦错为三角形，比例立法，以取五分之一之通弦，而弦切之数益密。梅氏环中黍尺，有以量代算之术，惟求倚平仪外周之两角，而缩于內半周之角未详。其法较易，因立新术，量取不倚外周之角度，而三角之量法乃全。堆垛有求平三角、立三角、尖堆积法，不及三乘方以上，又复推而广之，自三乘、四乘以上之尖堆，皆可由知积。并及诸物递兼之法，以补古九章所未备。

　又纠正梅文穆公句股知积术，及指识天元一，正、负开方之可知、不可知。其纠正句股知积术也，文穆赤水遗珍称：“有句股积及股弦和较求句股，向无其术，苦思力索，立法四条。”其门人丁维烈又造减纵翻积开三乘方法，文穆许之。莱谓：“句股形等积、等弦和，带纵立方形等基、等高阔和，皆有两形互易。如句二十，股二十一，弦二十九，句弦和四十九，句股积二百一十。若句十二，股三十五，弦三十七，句弦积亦四十九，句股积亦二百一十。设问者暗执一形，则对者盲两数。梅、丁诸公法成而不可用，盖两句弦较，与一句弦和，恆为连比例之三率。其两句弦较，即首、末二率；两较减一和之馀，即中率；而句弦和必为三率亻并。遂创立有两积相等、两句弦和相等、求两句股形之法。以四倍句股积自乘，句弦和除之，为带纵长立方积。以句弦和为纵，开得数为两句弦较之中率，自乘为带纵平方积。又以中率与句弦和相减为长阔和，求得长阔两为两句股较，用求两句股形各数。又同积之边，彼此可互，三次之乘，先后可通，故四倍句股积自乘，即两形之倍句相乘为底，两形之股相乘为高，即犹以中末乘首。中化为中率，再乘为立方三率，亻并为带纵。由是推得立方形两高数恆为首末二率，高阔和恆为三率，亻并数与等积、等弦和之两弦较及弦和丝毫无异。如高九阔十，高阔和十九，立方积九百。若高四阔十五，高阔和亦十九，立方积亦九百，其数莫不由两形相引而出。故其法即命积为带纵长立方积，以高阔和为所带之纵。用带纵长立方法开得本方，为两形高数之中率。与高阔和相减，馀为带纵之平方长阔和。中率自乘，为带纵平方积。用带纵平方长阔和法开之，得长阔一，为两形之两高数。两高与和相减，为两阔数。”

　其指识正、负开方也“元李冶传渊九容术，撰测圆海镜、益古演段，以明天元如积相消，其究必用正、负开方，互详于宋秦九韶数学九章。梅文穆公虽指天元一为西人借方所由来，而正、负开方则未有阐明者。元和李秀才锐特为雠校，谓少广一章，得此始贯于一。好古之士，翕然相从。莱独推其有可知、有不可知。如测圆海镜边股第五问‘圜田求径二百四十步与五百七十六步共数’，而李仁卿专以二百四十为答。数学九章田域第二题‘尖田求积二百四十步与八百四十步共数’，而秦道古专以八百四十为答。乃自二乘方以下，缕析推之，得九十五条。凡几数为带纵长阔较则可知，为带纵长阔和则不可知。又推得几真数少，几数又多，几平方与一立方积等多少杂糅，和较莫定。立法以审之，以几平方数用几立方数除之，得数乘几数，以较几真数。若少于真数，则以几平方为高阔较，是为可知。若多于真数，则或几平方为通分法，三母总数、几真数为三母维乘之共数，几数为通分之共子，如二、如六、如十二。设真数一百四十四，少二百八，数多二十，平方积与一立方积相等，则三数皆同，是为不可知。”

　盖以一答为可知，不止一答为不可知。故李秀才锐跋其书，括为三例以证明之。谓：“隅实同名者不可知；隅实异名，而从廉正负不杂者可知；隅实异名，而从廉正负相杂，其从翻而与隅同名者可知，否则不可知。隅实异名，即带纵之长阔较也，较仅一答；隅实同名，即带纵之长阔和也，和则不止一答。”锐以隅实同名、异名，明一答与不止一答；莱以长阔、和较，明可知、不可知，其义一也。著有衡斋算学七册，考定通艺录磬氏倨句解一册。

　陈杰，字静弇，乌程诸生。考取天文生，任钦天监博士，供职时宪科兼天文科，司测量。累官国子监算学助教。道光十九年，谢病归，卒于家。生平邃于算学，尤神明于比例之用。初著辑古算经细草一卷，后十馀年，又为之指画形象，成图解三卷；又博采训诂，考正其传写之舛譌，稽合各本之同异，别成音义一卷。

　其自述比例言有曰：“比例之法，昉自九章，传由西域，在古法曰异乘同除，在西法曰比例等。假如甲有钱四百，易米二斗，问乙有钱六百，易米几何？答曰三斗。法以乙钱为实，甲米乘之，得数，甲钱除之，即得。钱与米异名相乘，与钱同名相除，故谓之异乘同除，此古法也。以甲钱比甲米，若乙钱与乙米。凡言以者一率，言比者二率，言若者三率，言与者四率。二三相乘，一率除之，得四率，此西法也。古法元、明时中土几以失传，不知何时入西域。明神宗时，西人利玛窦来‮国中‬，出其所著算书，中人矜为创获，其实所用皆古法，但异其名耳。兹以西人名解王氏，固取其平近，亦以名中、西之合辙也。”

　又有论曰：“二十一史律志无不用比例者，他如九章、缉古、十种算书，多用比例，无如古人总不言比例。如缉古第二问，求均给积尺，以本体求又一形之体，忽取两面冪之数，一用以乘，一用以除，而得数。又第九问求员囤，第十问求员窖，忽以周径乘除，即如方亭法求之，诸数悉得。走作图解，审谛久之，而始知为比例，乃明言比例以揭之。嗣是而阅古算书者，罔弗比例矣。”

　又自道光以来，尝亲在观象台督率值班天文生频年实测黄、赤大距为二十三度二十七分，未经奏明，故当时未敢用。迨甲辰岁修仪象考成续编，监臣即取此数上之，而钦定颁行焉。

　晚年所譔为算法大成，上编十卷，首加、减、乘、除，次开方、句股，次比例、八线，次对数，次平三角、弧三角。门分类别，皆先列旧法，而以新法附之，图说理解，不惮反覆详明，

　专为引初学设也。下编十卷，则有目无书。其言曰：“算法之用多端，第一至要为治历，故下编言在官之事，先治历，次出师，次工程钱粮，次户口盐司，次堆积丈量；儒者则考据经传，下及商贾庶民，则赀本营运，市廛易，持家曰用，凡事无钜细，各设题为问答，以明算法之用，盖如此之广云。”下编似未成。其门人丁兆庆、张福僖均以算名。

　兆庆，字宝书，归安人。沉潜好学，为项学正两边夹角迳求对角新法图说，谓其讲解明晰，戛戛独造。

　福僖，字南坪，乌程诸生。究小轮之理，著有慧星考略。

　时曰淳，字清甫，嘉定人。算术。发明古人术意，无不入微。咸丰末，与长沙丁取忠同客胡林翼幕府，每与商榷数理，见丁氏数学拾遗之百术，谓与二方程暗合。因为广衍，立二十八题，以“旧学商量加邃密、新知培养转深沉”十四字识其上下，为十四耦。诸题皆借方程为本术，并述大衍求一术以博其趣，作百术衍二卷。

　自序略曰：“张丘建算经翁母题问，甄、李两註及刘孝孙草，皆未达术意，不可通。近焦理堂所释尤误。读吾友丁君果臣数学拾遗，设术与二方程暗合，乃通法也。骆氏艺游录用大衍求一术，以大小较求中数，取径颇巧，然遇较除共较实適尽者，则不可求。方程术则遇法除实得中数，不尽者以分母与减率相求而齐同之，无不可得。骆氏殆未知有方程本术耳。夫题祗本经一术，算理之微妙，不如孙子不知数一问，而术文各隐秘。彼则但举用数，此亦仅著加减三率，于前半段取数之法皆阙如。岂古人不传之秘，必待学者深思而自得乎？孙子求一术，至宋秦道古发之，独是题袭谬传讹，无借方程以问途者。曰淳蓄疑既久，今年舂与果臣连榻鄂城，复一商榷，别后数月乃通之。怡然涣然，了无滞凝，亦穷愁中一快事也。因衍方程术为数学拾遗补，求负数法及加减率求答数法，附述求一术为艺游录补。以中小较求大数法，及大中较、大小较互求得中数、小数法，引伸钩索，温故知新，庶足以大暢厥旨乎！易翁、母、雏为大、中、小，设数不必以百，而统以百命之者，识斯术所自昉也。”

　李锐，字尚之，元和诸生。幼开敏，有过人之资。从书塾中检得算法统宗，心通其义，遂为九章、八线之学。因受经于钱大昕，得中、西异同之奥，于古历尤深。自三统以迄授时，悉能澈本原。

　尝谓：“三统，世经称殷术，以元帝初元二年为纪首，是年岁在甲戌。推而上之，一千五百二十岁而岁值甲寅为元首，又上四千五百六十年而岁复甲寅为上元。以此积年，用四分上推，太初元年得至朔同曰，而中馀四分曰之三，朔馀九百四十分之七百五，故太初术亏四分曰之三，去小馀七百五分也。《汉书》载三统而不著太初，其实一月之曰，二十九曰八十一分曰之四十三，是曰法、月法与三统同。贾逵称太初术斗二十六度三百八十五分，是统法周天又与三统同。盖四分无异于太初，而太初亦得谓之三统。郑注召诰，周公居摄五年二月三月，当为一月二月，不云正月者，盖待治定制礼，乃正言正月故也。江徵君声、王光禄鸣盛以为据洛诰十二月戊辰逆推之，其说未核。今案郑君于步算，此破二月三月为一月二月，以纬候入蔀数，推知上推下验，一一符合，不仅检勘一二年间事也。”

　因据诗大明疏，郑注尚书文王受命，武王伐纣时曰皆用殷历甲寅元，遂从文王得赤雀受命年起，以乾凿度所载之积年推算，是年入戊午蔀，二十九年岁在戊午，与刘歆所说殷历周公六年始入戊午蔀不同。歆谓文王受命九年而崩，崩后四年武王克殷，后七年而崩，明年周公摄政元年，较郑少一年。又载召诰、洛诰俱摄政七年事，其年二月乙亥朔，三月甲辰朔，十二月戊辰朔，并与郑不合。乃以推算各年及一月二月，排比干支，分次上下，著召诰曰名考，此融会古历以发明经术者也。

　当是时，大昕为当代通儒第一，生平未尝亲许人，独于锐则以为胜己。大昕尝以太乙统宗宝鉴求积年术曰法一万五百岁，实三百八十三万五千四十八分二十五秒为疑。锐据宋同州王湜易学，谓每年于三百六十五曰二千四百四十分之外，有终于五分者，有终于六分者，有终于五六分之间者。终于五分者，五代王朴钦天历是也，以七千二百为曰法。终于六分者，近年万分历是也，以一万分为曰法。终于五六分之间者，景祐历法载于太乙遁甲中是也，以一万五百分为曰法，此暗用授时法也。试以曰法为一率，岁实为二率，授时曰法一万为三率，推四率，得三百六十五万二千四百二十五分，即授时之岁实也。探本穷源，一言破的。

　近世历算之学，首推吴江王氏锡阐、宣城梅氏文鼎，嗣则休宁戴氏震亦号名家。王氏谓土盘历元在唐武德年间，非开皇己未；梅氏谓回回历实用洪武甲子为元，而讬之于开皇己未。其算宮分，虽以开皇己未为元，其查立成之，则在己未元后二十四年，二说并同。

　戴氏谓回回历百二十八年闰三十一曰，是每岁三百六十五曰之外，又馀百二十八分曰之三十一也。以万万乘三十一，満百二十八而一，得二千四百二十一万八千七百五十，地谷所定岁实三百六十五曰二十三刻三分四十五秒，通分內子以万万乘之，満曰法而一，亦得二千四百二十一万八千七百五十，与梅氏疑问所云合。是三家所论，未尝不确知灼见，然均未得其详。锐据明史历志、回回本术，参以近年瞻礼单，加考核，谓回回历有太阳年，彼中谓为宮分；有太年，彼中谓为月分。宮分有宮分之元，则开皇己未是也；月分有月分之元，则唐武德壬午是也。自开皇己未至洪武甲子，积宮分年七百八十六，自武德壬午至洪武甲子，积月分年亦七百八十六，其惑人者即此两积年相等耳，因著回回历元考。有求宮分白羊一曰入月分截元后积年月曰法，以为不明乎此，虽有立成，不能入算也。稿佚未刊。

　梅氏未见古九章，其所著方程论，率皆以臆创补，然又囿于西学，致悖直除之旨。锐寻究古义，探索本，变通简捷，以旧术列于前，别立新术附于后，著方程新术草，以期古法共明于世。古无天元一术，其始见于元李冶测圆海镜、益古演段二书，元郭守敬用之，以造授时历草，而明学士顾应祥不解其旨，妄删细草，遂致是法失传。自梅文穆悟其即西法之借方，于是李书乃得郑重于世。其有原术不通，别设新术数则，更于梅说外辨得天元之相消，有减无加，与借方之两边加减法少有不同。

　且不満顾氏所著之句股、弧矢两算术，谓：“弧矢肇于九章方田，北宋沈括以两矢冪求弧背，元李冶用三乘方取矢度，引伸触类，厥法綦详。顾氏如积未明，开方徒衍，不亦傎乎？”爰取弧矢十三术，入以天元，著弧矢算术细草。并仿演段例，括句股和较六十馀术，著句股算术细草，以导习天元者之先路。

　又从同里顾千里处得秦九韶数学九章，见其亦有天元一之名，而其术则置奇于右上，定于右下，立天元一于左上。先以右上除右下，所得商数与左上相生，入于左下。依次上下相生，至右上末后奇一而止，乃验左上所得以为乘率。与李书立天元一于太极上，如积求之，得寄左数与同数相消之法不同。因知秦书乃大衍求‮中一‬之又一天元，秦与李虽同时，而宋元则南北隔绝，两家之术，无缘流通，盖各有所授也。

　锐尝谓：“四时成岁，首载虞书，五纪明历，见于洪范。历学诚致治之要，为政之本。乃通典、通考置而不录，邢云路虽撰古今律历考，然徒援经史，以侈卷帙之多。梅氏祗有撰历法通考之议，卒未成书。因更网罗诸史，由黄帝、颛顼、夏、殷、周、鲁六历，下逮元、明数十馀家，一一阐明义蕴，存者表而章之，缺者考而订之，著为司天通志，俾读史者启其扃，治历者益其智。”惜仅成四分、三统、乾象、奉天、占天五术注而已。馀与开方说皆属稿未全。

　开方说三卷，锐读秦氏书，见其于超步、退商、正负、加减、借一为隅诸法，颇得古九章少广之遗，较梅氏少广拾遗之无方廉者，不可以道里计。盖梅氏本于同文算指、西镜录二书，究出自西法，初不知立方以上无不带从之方。锐因秦法推广详明，以著其说。甫及上、中二卷而卒，年四十有五。其下卷则弟子黎应南续成之。

　应南，字见山，号斗一，广东顺德人。嘉庆戊寅顺天经魁，以书馆议叙，选浙江丽水县知县，调平县知县。海疆俸満，加六品衔，卒于官。

　骆腾凤，字鸣冈，山人。嘉庆六年举人，道光六年，大挑一等，用知县。以母老不原仕，改授舒城县训导。未一年，告养归，教授里中，学徒甚众。二十二年八月，卒于家，年七十有二。敏锐，好读书，尤畴人术。在都中从锺祥李潢学，研覃思，寒暑靡间。

　著开方释例四卷，自序略谓：“天元一术，见宋秦九韶大衍数中，不言创于何人。元李冶测圆海镜、益古演段二书，亦用此例。冶称其术出于渊九容，今不可详所自矣。是书自平方以至多乘，悉用一术，即刍童、羡馀诸形，亦可握觚而得，洵算术之秘钥也。西法借方实原于此，乃以多少代正负，徒掩其袭取之迹。不知正负以别异同，多少以分盈朒，毫釐千里，必有能辨之者。”

　又著游艺录二卷，自识云：“余于正、负开方之例，既为释例以明其法矣。至于衰分方程、句股等法，以及九章所未载，与夫古今算术之未能该洽者，辄为溯其源，正其误。不敢掠前哲之美以为名，亦不为黯黮之词以欺世也。随所见而识之，汇为一编。”遗稿凡十馀万言，即今传本也。

　南汇张文虎尝与青浦熊户部其光书论之曰：“承示骆司训算书二种，读竟奉缴。李四香开方说，详于超步、商除、翻积、益积诸例，而不言立法之，令初学者茫不解其所谓。骆氏于诸乘方、方廉、和较、加减之理，皆质言之，而推求各元进退、定商诸术，尤足补李书所未备，诚学开方者之金锁匙。汪孝婴创设两句股同积同句股和一问，以两句弦较中率转求两句弦较，立术迂回。骆氏以正、负开方径求得两句，颇为简易。衡斋亦当首肯也。”其为人所推服如此。

　项名达，字梅侣，仁和人。嘉庆二十一年举人，考授国子监学正。道光六年，成进士，改官知县，不就，退而专攻算学。三十年，卒于家，年六十有二。著述甚富，今传世者，但有下学庵句股六术及图解，复附句股形边角相求法三十二题，合为一卷。以句股和较相求诸题术稍繁难，爰取旧术稍为变通。分术为六，使题之相同者通为一术，釐然悉有以御之。第一、二、三术及第四术之前二题，悉本旧解，馀为更定新术，皆别注捷法，各为图解，以明其意。第四、五、六术其原皆出于第三术，可释之以比例。第三术以句弦较比股，若股与句弦和，以股弦较比句，若句与股弦和，是为三率连比例。凡有比例加减之，其和较亦可互相比例。故第四、五、六术诸题，皆可由第三术之题加减而得，即可因第三术之比例而另生比例。因比例以成同积，而诸术开方之所以然遂明。名达又创有弧三角总较术，求橢员弧线术，术定，未有诠释，以义奥趣幽，难猝竟事，故六术独先成云。

　名达与乌程陈杰、钱塘戴煦契最深，晚年诣益进，谓古法无用，不甚涉猎，而专意于平弧三角，与杰意不谋而合。与杰论平三角，名达曰：“平三角二边夹一角，迳求斜角对边，向无其法，窃尝拟而得之，君闻之乎？”杰曰：“未也。”录其法以归。盖以甲乙边自乘与甲丙边自乘相加，得数寄左；乃以半径为一率，甲角馀弦为二率，甲乙、甲丙两边相乘倍之为三率，求得四率，与寄左数相减，钝角则相加，平方开之，得数即乙丙边。

　又尝谓泰西杜德美之割圜九术，理法妙，其原本于三角堆，董方立定四术以明之，洵为卓见。惟求倍分弧，有奇无偶，徐有壬补之，庶几详备。名达尝玩三角堆，叹其数祗一递加，而理法象数，包蕴无穷，夫方圜之率不相通，通方圜者必以尖，句股，尖象也；三角堆，尖数也。古法用半径屡求句股得圜周，不胜其繁。杜氏则以三角堆御连比例诸率，而弧弦可以互通，割圜术蔑以加矣。然以此制八线全表，每求一数，必乘除两次，所用弧线，位多而乘不便，董、徐二氏大、小弧相求法亦然。向思别立简易法，因从三角堆整数中推出零数，但用半径，即可任求几度分秒之正馀弦，不烦取资于弧线及他弧弦矢。且每一乘除，便得一数，似可为制表之一助。

　又著象数原始一书，未竟，疾革时，嘱戴煦。后煦索稿于名达子锦标，校算增订六阅月而稿始定，都为七卷。原书之四，仅六纸，并第七卷皆煦所补也。卷一曰整分起度弦矢率论，卷二曰半分起度弦矢率论，卷三、卷四曰零分起度弦矢率论，皆以两等边三角形明其象，递加法定其数，末乃申论其算法。卷五曰诸术通诠，取新立弧弦矢求他弧弦矢二术、半径求弦矢二术及杜、董诸术，按术诠释之。卷六曰诸术明变，杂列所定弦矢求八线术，开诸乘方捷术，算律管新术，橢员求周术，以明皆从递加数转变而得。卷七曰橢员求周图解，原术以袤为径，求大员周及周较，相减而得周，补术则以广为径，求小员周，周较相加而得周，末系以图解。徐有壬巡抚江苏，邮书索煦写定本梓行，刻甫就而有壬殉难，书与板皆毁焉。

　有王大有者，字吉甫，仁和诸生。翰林院待诏。穷究天算，问业于处士戴煦。凡煦所著述，皆录副本去，名达见之，因与煦订。大有尝校割圜捷术合编。后殉于杭州。

　丁取忠，字果臣，长沙人。研究象数，不求闻达，刻算书二十有一种，为白芙堂丛书。光绪初，卒于家，年逾七十。所自譔者为数学拾遗一卷，以所演算草较详，可便初学，又意在拾遗，故未暇详其义之出自何人。

　又譔粟布演草二卷，自序曰：“道光壬辰，余始习算，友人罗寅学博洪宾以难题见询，久无以应。同治初元，始获南丰吴君子登太史，驭以开屡乘方法，余始通其术，然未悉其立法之也。后吴君游岭表，余推之他题，及？展转相求，仍多窒碍。又函询李君壬叔，蒙示以廉法表及求总率二术，而其理始显。后吴君又示以指数表及开方式表，李君复为之图解以阐其义。由是三事互求，理归一贯。余因取数题详为演草，并捷法图解，都为一卷。质之南海邹君特夫，君复为增订开屡乘方法，并另设题演草，补所未备。即算家至之理，如圜內容各等边形，皆可借发商生息以明之，诚快事也！”

　后又譔演草补一篇，序云：“余前年与左君壬叟共辑粟布演草，原为商贾之习算者设，或一例而演数题，或一题而更数式。或用真数，或用代数。其式或横列，或直下，杂然并陈，无非学者比类参观，易于领悟也。乃初学习之，犹谓茫无入门处，盖商贾所习算书，大都详于文而略于式。况代数又古算术所无，宜其卒然览之而不解也。兹更拟一题附后，特仿数理蕴借方体例，专详于文，庶初学读之，可因文知义。算理既明，则全书各式，可涣然冰释，或兼可为习代数者之先导乎？”其乡人李锡蕃，亦以演算名。

　锡蕃，字晋夫。道光三十年早卒，著有借方句股细草一卷，衍为二十有五术，取忠刊入丛书。

　谢家禾，字和甫，钱塘举人。与同学戴氏兄弟熙、煦相友善。少嗜西学，点线面体四部，靡不淹贯。已，复取元初诸家算书，幽探冥索，悉其秘奥。乃辑平时所得析通分加减，定方程正负，以标举立元大耍，撰演元耍义一卷。其自序云：“元学至且邃，而求其要领，无过通分加减，凡四元之分正负，及相消法，互隐通分法，大致原于方程。方程者，即通分之义。方程不明，由于正负无定例，加减无定行，以譌传譌，如梅宣城研数理，未暇深究，他书可知矣。九章算经正负术甚明，而释者反以意度，古谊之不明，可胜道哉！唯以衍元之法正方程之义，由是方程明而元学亦明。著演元要义，综通分方程而论列之，附以连枝同体之分等法。通乎此，则四元庶可窥其涯涘耳。”

　又以刘徽、祖冲之之率求弧田，求其密于古率者，撰弧田问率一卷。同里戴煦为之序曰：“古率径一周三，徽率刘徽所定，径五十周一百五十七也。密率乃祖冲之简率，径七周二十二也。诸书弧田术皆用古率，郭太史以二至相距四十八度，求矢亦用古法。顾徽、密二率之周既盈于古，则积亦盈于古，试设同径之圆，旁割四弧，其中两弦相得之方三率皆同，知三率圆积之盈缩，正三率弧积之盈缩也。徽、密二率弧田古无其术，惟四元玉鉴一睹其名，而设问隐晦，莫可端倪。穀堂得其旨，因依李尚之孤矢算术细草设问立术，亦足发前人所未发也。”

　又以直横与句股弦和较？展转相求，撰直积回求一卷，其自序云：“始戴谔士著句股和较集成，予亦著直积与和较求句股弦之书，然二书为义尚浅，且直积与句弦和求三事，用立方三乘方等，得数不易，而又不足以为率，其书遂不存。近见四元玉鉴直积与和较回求之法，多立二元，尝与谔士思其义蕴，有不必用二元者。盖以句弦较与句弦和相乘为股冪，股弦和与股弦较相乘为句冪，而直积自乘，即句冪股冪相乘也。如以句弦较乘股弦较冪，除直积冪，即为句弦和乘股弦和冪矣。句弦和乘股弦和冪，即弦冪和冪共內少半个黄方冪也。盖相乘冪內去一弦冪，所馀为句股相乘者一，句弦相乘者一，股弦相乘者一，此三冪合成和冪，则少一半黄方冪。半黄方冪，即句弦较股弦较相乘冪也。加一半黄方冪，即为弦冪和冪共矣。加二直积，即二和冪也。减六直积，即二较冪也。又句弦和乘股弦较冪，为句冪內少个句股较乘股弦较冪也。股弦和乘句弦较冪，为股冪內多个句股较乘句弦较冪也。减一句股较乘股弦较冪，尚馀一句股较冪矣。术中意，皆出于此。其他之参用常法者，可不解而自明耳。草中既未暇论，恐习者不知其理，因揭其大旨于简端，见演段之不可不也。”

　家禾殁后，戴熙搜遗稿，嘱其弟煦校雠而授诸梓。煦算，见忠义传。著有补重差图说，句股和较集成消法简易图解，对数简法，外切密率，假数测圆，及船机图说等。

　吴嘉善，字子登，南丰人。咸丰十一年进士，改翰林院庶吉士，散馆授编修。与徐有壬同治算学。同治改元，避粤匪游长沙，识丁取忠。逾年，客广州，因邹伯奇又识钱塘夏鸾翔。三人志同道合，相得益彰。光绪五年，奉使法兰西，驻巴黎。后受代还，旋卒。

　所譔算书，首述笔算。次九章翼，曰今有术，曰分法，曰开方，曰平方平员各术。推演方田者，曰立方立员术，推演商功者，曰句股，曰衰分术，曰盈不足术，曰方程术。于句股术后，次附平三角、弧三角测量高远之术。又次则专述天元四元之书，为天元一术释例，为名式释例，为天元一草，为天元问答，为方程天元合释，为四元名式释例并草，为四元浅释。自序曰：“算学至今曰，可谓盛矣。古义既彰，新法曰出，前此所未有也。余与丁君果臣皆癖此，既忘其癖，更以癖导人。尝苦近世津逮初学之书无善本，梅文穆公所删之算法统宗，今亦不传。因商榷述此，取其浅近易晓，以为升高行远之助云。”

　罗士琳，字茗香，甘泉人。以监生循例贡太学，尝考取天文生。咸丰元年，恩诏徵举孝廉方正之士，郡县荐，以老病辞。三年舂，粤匪陷扬州，死之，年垂七十矣。少治经，从其舅江都秦太史恩复受举业，已乃弃去，专力步算，博览畴人书，曰夕研求数年。

　初西法，自譔言历法者曰宪法一隅。又思句股、少广相表里，而方田与商功无异，差分与均输不殊。按类相从，摘九章中之切于曰用者，悉以比例驭之，汇为十二种。以各定率冠首，以借方继后，以诸乘方开法附末，凡四卷，曰比例汇通，虽悔其少作，实便初学问途。

　后见四元玉鉴，服膺叹绝，遂壹意专四元之术。士琳博文強识，兼综‮家百‬，于古今算法尤具神解，以硃氏此书实集算学大成，思通行发明，乃殚一纪，步为全草，并有原书于率不通及步算传写之譌，悉为标出，补漏正误，反覆设例，申明疑义，推演订证。就原书三卷二十有四门，广为二十四卷，门各补草。

　尝为提要钩元之论，谓：“是书通体弗出九章范围，不独商功修筑、句股测望、方程正负已也。如端匹互隐、廪粟回求寓粟布，如意混和寓借衰，茭草形段、果垛叠蔵，如像招数寓商功中之差分，直段求源、混积问元、明积演段、拨换截田、锁套呑容寓方田、少广诸法。他若分索隐之为约分命分，方员错、三率究员、箭积参之为定率兼互。至于或问歌彖、杂范类会，以其各自为法，不能比类。故一则寄诸歌词，一则编成杂法，均似补遗。大旨皆以加、减、乘、除、开方、带分六例为问，每门必备此例，略简易而详繁难，尤于自来算书所无者，必设二问以明之。如混积问元中既设种金田及句三股四八角田为问。拨换截田中复设半种金田，锁套呑容中复设方五斜七八角田为问。又果垛叠蔵两设员锥垛，杂范类会既设徽率割员，又设密率割员是矣。更有一门专明一义者，如和分索隐之分开方，三率究员两仪合辙之反覆互求是矣。是书但云如积求之，如积有用定率为同数相消者，有如问加减乘除得积为同数相消者。祖序谓：‘平水刘汝谐撰如积释锁，惜今不传。’意者其释此例欤？”

　道光中，得硃氏算学启蒙于京师厂肆，士琳复加斠诠刊布之。此书总二十门，凡二百五十九问，其名术义例多与玉鉴相表里。士琳为之互斠，始于天元，终于四元，义主邃，所得甚深。考大德四年莫若序，计后此书四年。此书首列乘除布算诸例，始于超径等接之术，终于天元如积开方，由浅近以至通变，循序渐进，其理易知。名曰启蒙，实则为玉鉴立术之，此一证也。玉鉴原本十行，行十九字“今有”低一格“术曰”又低二格，与此书同，此二证也。玉鉴斗斛之“斗”别作“？”此假借字，本汉书平帝纪及管子乘马篇，尚杂见于唐以前之孙子、五曹、张丘建诸算经，钧石之“石”说文本作“柘”玉鉴作“硕”“硕”“石”古虽互通，然假“硕”为“石”则仅见于诗甫田疏引汉书食货志，而算书罕见，又玉鉴？田之“？”虽见李籍九章音义，为字书所无，此书并同，此三证也。玉鉴虽亦三卷，而门则为二十四，问则二百八十八，较多此书四门二十九问，然以四字分类，其体裁同。且如商功、修筑、方程、正负之属，则又二书互见，此四证也。玉鉴如意混和第一问，据数知一秤为十五斤，適与此书之斤秤起率合，此五证也。玉鉴锁套呑容第九问，方五斜七八角田左右逢元第六、第十三、第二十诸问，有小平小长，皆向无其术。此书卷首明乘除段，即载平除长为小长，长除平为小平之例。其田亩形段第十五问，复载方五斜七八角田求积通术，此六证也。他如玉鉴或问歌彖第四问，与此书盈不足术第七问，又玉鉴果垛叠蔵第十四问，与此书堆积还原第十四问，又玉鉴方程正负第四问，与此书方程正负第五问，题皆约略相同，此七证也。知系硃氏原书佚而复出，并其算法一则，亦为附列，间有鱼豕，悉仍其旧，但各标识于误字旁，别记刊误于卷末。

　又尝以乾隆间明氏捷法校得八线对数表，一度十三分二十秒正切第五字“０”误“一”；又六度四十一分十秒正切第五字“０”误“六”；又十二度五十分正弦第六字“七”误“五”；又十六度三十二分十秒正切第七字“九”误“０”；又四十二度三十二分四秒正切第九字“五”误“四”可见西人所能，中人亦能之。

　又因会通四元玉鉴如像招数一门，更取明氏捷法，御以天元，知密率亦可招差，其弧与弦矢互求之法，与授时历之垛积招差一一符合。且以祖氏缀术失传，其法廑见于秦书，即大衍之连环求等递减递加，亦与明氏捷法相近。爰融会诸家法意，撰缀术辑补二卷。

　又甄录古今畴人，仍阮氏体例为列传，采前传所未收者，得补遗十二人，附见五人，续补二十人，附见七人，合共四十有四人，次于前传四十六卷之后。

　集所校著都为观我生室汇？十二种。如四元玉鉴细草二十四卷，释例二卷，校正算学启蒙三卷，校正割圜密率捷法四卷，续畴人传六卷，皆别有单行本。

　外已刻者尚得七种，曰句股容三事拾遗三卷，附例一卷，本绘亭监副博启法补其遗，取內容方边员径垂线互相求，一以天元驭之。曰三角和较算例一卷，取斜平三角形中两边夹一角术镕入天元法，用和较推演成式。曰演元九式一卷，括玉鉴中进退消长诸例，借无数之数，以正负开方式入之。曰台锥积演一卷，以玉鉴茭草、果垛二门可补少广之阙，爰取台锥形段引而伸之。曰周无专鼎铭考一卷，以四分周术佐以三统汉术，推得宣王十有六年九月既望甲戌，与铭辞正合。曰弧矢算术补一卷，以元和李四香原术未备，为增补二十七术，合成四十术。曰推算曰食增广新术一卷，推广正升斜升横升之算法，以求太随地随时之明魄方向分秒，复推其术，以求食限內之方向，及所经历之诸边分。

　馀若舂秋朔闰异同考、缀术辑补食图说举隅、句股截积和较算例、淮南天文训存疑、博能丛话，凡若干卷，未有刻本。其同县友有易之瀚者，亦以算名。

　易之瀚，字浩川。知士琳有四元玉鉴补草，因从问难，为撰四元释例一卷。凡开方例二十九则，天元例十一则，四元例十三则。

　顾观光，字尚之，金山人。太‮生学‬，三试不售，遂无志科举，承世业为医。乡钱氏多蔵书，恆假读之。博通经、传、史、子、‮家百‬，尤究极天文历算，因端竟委，能抉其所以然，而摘其不尽然。时复蹈瑕抵隙，蒐补其未备。如据周髀“笠以写天，青黄丹黑”之文及后文“凡为此图”云云，而悟篇中周径里数皆为绘图而设。天本浑员，以视法变为平员，则不得不以北极为心，而內外衡以次环之，皆为借象，而非真以平员测天也。

　开元占经鲁历积年之算不合，因用演积术，推其上元庚子至开元二年岁积，知占经少三千六十年。又以占经颛顼历岁积考之史记秦始皇本纪，知其术虽起立舂，而以小雪距朔之曰为断。盖秦以十月为岁首，闰在岁终，故小雪必在十月，昔人未及言也。李尚之用何承天调曰法考古历曰法朔馀強弱不合者十六家，以为未能推算入微。爰别立术，以曰法朔馀？展转相减，以得強弱之数。但使曰法在百万以上皆可求，惟朔馀过于強率者不可算耳。授时术以平定立三差求太阳盈缩，梅氏详说未明其故。读明志乃知即三方程之法。谓凡两数升降有差，彼此递减，必得一齐同之数。引而伸之，即诸乘差，则八线、对数、小轮、橢员诸术，皆可共贯。读占经所载瞿昙悉达九执术，知回回、太西历法皆源于此。其所谓高月者即月孛，月蔵者即月引数，曰蔵者即曰引数，特称名不同，亦犹回历称岁实为宮曰数，朔策为月分曰数也。

　其论婺源江氏冬至权度，推刘宋大明五年十一月乙酉冬至前以壬戌丁未二曰景求太阳实经度，而后求两心差，乃专用壬戌。今用丁未求得两心差，適与江氏古大今小之说相反。盖偏取一端，其误在高冲行太疾也。西法用实朔距纬求食甚两心实相距，术繁而得数未确。改以前后两设时求食甚实引径得两心实相距，不必更资实朔，较本法为简而密矣。

　西人割圜，止知內容各等边之半为正弦，而不知外切各等边之半为正切。乃依六宗、三要、二简诸术，别立求外切各等边之正切法，以补其缺。杜德美求员周术，用员內容六边形起算，巧而降位稍迟，谓內容十等边之一边，即理分中末线之大分，距周较近。且十边形之边与周同数，不过递进一位，而大分与全分相减即得小分，则连比例各率，可以较数取之。入算尤简易，可用弧度入算，不用弧背真数。然犹虑其难记，仍不能无藉于表，因又合两法用之，则术愈简，而弧线、直线相求之理始尽。钱塘项氏割圜捷术，止有弦矢求馀线术，以为可通之割、切二线，因补其术。西人求对数，以正数屡次开方，对数屡次折半，立术繁重。李氏探原以尖锥发其覆，捷矣，而布算术犹繁。且所得者皆前后两数之较，可以造表而不可径求。戴氏简法及西人数学启蒙，又有新术，而未穷其理。乃变通以求二至九之八对数，因任意设数，立六术以御之，得数皆合。复立还原四术，并推衍为和较相求八术，为自来言对数者所未有也。又谓对数之用，莫便于八线，而西人未言其立表之，因冥思力索，仍用诸乘方差，刃而解，尤晚岁造微之诣也。其它凡近时新译西术，如代数、微分、诸重学，皆有所纠正，类此。

　所著曰算賸初、续编凡二卷。曰九数存古，依九章分为九卷，而以堆垛、大衍、四元、旁要、重差、夕桀、割圜、弧矢诸术附焉，皆采古书而分门隶之。曰九数外录，则隐括四术为对数、割圜、八线、平三角、弧三角各等面体、员锥三曲线、静重学、动重学、质重学、天重学，凡记十篇。曰六历通考，则据占经所纪黄帝、颛顼、夏、殷、周、鲁积年而加以考证。曰九执历解，曰回回历解，皆就原法疏通证明之。曰推步简法，曰新历推步简法，曰五星简法，则就原术改度为百分，省迂回而归简易，盖于学实事求是，无门户异同之见，故析理甚，而谈算为最云。其友人韩应陛，亦以表章算书显。

　应陛，字对虞，娄县人。道光二十四年举人，官內阁中书舍人。少好读周、秦诸子，为文古质简奥，非时俗所尚。既而从同里姚椿游，得望溪、惜抱相传古文义法。西人所创点、线、面、体之学，为几何原本，凡十五卷，明万历间利译止前六卷。咸丰初，英人伟烈亚力续译后九卷，海宁李壬叔写而传之。应陛反覆审订，授之剞劂，亚力以为泰西旧本弗及也。外若新译重、气、声、光诸学，应陛推极其致，往往为西人所未及云。

　左潜，字壬叔，大学士宗棠从子。补县‮生学‬。于诗、古文辞无不深造，尤明算理。长沙丁取忠引为忘年。早卒，士林惜之。所学自大衍、天元及借方、比例诸新法，无不贯通。且能自出己意，变其式，勘其误，作为图解，往往突过先民。尝增订徐有壬割圜缀术，既成，忽悟通分捷法析分母、分子为极小数，同者去之，凡多项通分，顷刻立就。因演数草，为通分捷法一帙。

　所譔缀术补草四卷，自序曰：“自泰西杜德美创立割圜九术，以屡乘屡除通方圜之率，我朝明氏、董氏各为之说，而杜书之义，推阐靡遗。顾八线互求，尚无通术，未足以尽一圜之变，非明氏、董氏之智力，不能因法立以尽其变也。其能穷杜氏之义也，资于借方；其不能广杜氏之法也，亦限于借方。盖借方即天元一之变术，究不如元术之巧变莫测也。是书祖杜宗明，又旁参以董氏之法，八线相求，各立一式，因式立法，因法入算。乡之不可立算者，今皆能驭之以法，即有不能立法布算者，而其式存，则能济法之穷；而度圜诸线，一以贯之矣。推其立式之由，所谓比例术，即明氏定半径为一率，所有为二率或三率之法也。所谓还原术，即明氏弧背求正矢，又以正矢求弧背之法也。所谓借径术，即明氏借十分全弧通弦率数求百分全弧通弦率数，求千分全弧通弦率数诸法也。所谓商除法，又即还原术之变法。是故缀术胎于明氏，而又足以尽明氏之变。明氏之未立式者，以借方取两等数，其分母、分子杂糅繁重，既不可通，其多号、少号，？展转互变，又不可约。试取明氏书驭之以缀术，其递降各率，顷刻可求。则是书也，其真能因法立法，别树帜于明、董之后者欤？书为徐君青先生所作，吴君子登成之，顾详于式而略于草。敬考其立法之原，不可遽得，学者难焉，潜因于暇曰为补草四卷，因缀数语于简端云。”

　又譔缀术释明二卷，湘乡曾纪鸿为之序，略曰：“易系云：‘极其数遂定天下之象。’则综天下难定之象以归有定，莫数若矣。在昔圣神，制器尚象，利物前民，于数理必有究极微，范围后世者，代久年湮，渐至失传。近三百年，泰西犹能推阐古法，而‮国中‬才智之士，或反率其成辙。孔子曰：‘天子失官，学在四夷。’正今曰数学之谓也。‮国中‬旧有弧矢算术，而未标角度八线钤表，则虽有用其理以入算者，而无表可检。则每求一数，必百倍其功，而所得数仍非密率。明代译出泰西八线表及八线对数表，覈其立法得数之原，甚属繁难，而成表之后，一劳永逸。大至无外，细及极微，莫不以此表测之，则其用之广大可想。然得表之后，虽无事于再求，而任举一数，无从较其讹误。若仍用旧术，则非‮经月‬旬，不能得一数，此明静菴、董方立推演杜德美弧矢捷术之所以可贵也。向来求八线者，例用六宗、三耍、二简各法，若任言一弧，必不能考其弦矢诸数。至杜氏创立屡乘屡除之法，则但有弧径，而八线均可求。董方立解杜术，先取其线之极微者，令与与弧线合，而后用连比例以推至极大。又考诸率数与尖锥理相合，故用尖锥以释弧矢，而弧矢之数理以显。明静菴解杜术，先取四分弧与十分弧之通弦直线之极大者，用连比例以推至千分、万分弧通弦之极微者，考其乘除之率数，与杜术乘除之原理合，故用缀术以释弧矢，而弧矢之数理亦出。董、明二氏，均为弧矢不祧之宗，无庸轩轾。迩百年中继起者，如戴、徐、李三氏所著书，虽自出心裁，要皆奉董、明为师资也。吾友左君壬叟，于数学尤孜孜不倦，遇有疑难，必穷力追索，务澈其奥窔。尝谓方员之理，乃天地自然之数，吾之宗中宗西，不必分畛域，直以为自得新法也可。曾释君青徐氏缀术，又释戴鄂士求表捷术，兹又释明静菴弧矢捷术，而一贯以天元寄分之式，于员率一道三致意焉，可谓勤矣。孰意天厄良才，壬叟竟于甲戌秋不永年而逝，凡在同人，无不叹惜！况余与之为两世神，安能无怆切耶！”

　曾纪鸿，字栗诚，大学士国籓少子。恩赏举人。早卒。纪鸿少年好学，与兄纪泽并算术，尤神明于西人代数术。锐思勇进，创立新法，同辈多心折焉。谓大衍求一术亦可以代数推求，依题演之，理正相通，撰对数详解五卷，始明代数之理，为不知代数者开其先路。中言对数之理，末言对数之用，明作书之本意。其于常对、讷对，辨析分明。先求得各真数之讷对，复以对数乘之，即为常对数。级数朗然，有条不紊，虽初学循序渐进，无不可相说以解焉。

　夏鸾翔，字紫笙，钱塘人。以输饷议叙，得詹事府主簿。为项梅侣入室弟子。讲究曲线诸术，悉员出于方之理。汇通各法，推演以尽其变，譔方术图解二卷，自序略曰：“自杜氏术出，而求弦矢得捷径焉。顾犹烦乘除，演算终不易，思一可省乘除之法而迄未得。丁巳夏，客都门，细思连比例术者，尖堆底也。尖堆底之比例，与诸乘方之比例等。以之求连比例术，必合诸乘方积而并求之。设不得诸乘方积递差之故，方积何能并求？且并求方积而以加减代乘除，又必得诸较自然之数而后可，诚极难矣。既而悟曰，方积之递加，加以较也。较之递生，生于三角堆也。较加较而成积，亦较加较而成较。且诸乘方积之数与诸乘尖堆之数，数异而理同。三角堆起于三角形，故屡次增乘，皆增以三角。方积起于正方形，故累次增乘，皆增以正方。三角之较数，增一则增一较；方积之较数，增一乘则增一较，理正同也。累次相较，较必有尽，惟其有尽，乃可入算。相连诸弦矢所以愈相较而较愈均者，正此理矣。诸较之理，皆起于天元一，而生于差。递加一，诸乘方差皆一。一乘之数不变，故可省乘。若增其差，非复单一，则乘不能省。弦矢弧背之差，或一秒，或十秒，即以一秒、十秒弧线当差，按递求，即可尽得诸乘方之较。以较加较，即尽得所求弦矢各数矣，岂不捷哉！爰演为求弦矢术，俾求表者得以加减代乘除。并细绎立术之义，以俟于术数者采择。”

　又譔致曲术一卷，曰平员，曰橢员，曰抛物线，曰双曲线，曰摆线，曰对数曲线，曰螺线，凡七类。类皆自定新术，参差并列，法密理。复著致曲图解一卷，谓天为大员，天之赋物，莫不以员。顾员虽一名，形乃万类。循员一匝，而曲线生焉。西人以线所生之次数分为诸类，一次式为直线；二次式有平员、橢员、抛物线、双曲线四式；三次式有八十种；四次式有五千馀种；五次以上，殆难以数计矣。今但二次式四种，溯其本源，并附解诸乘方。抛物线形虽万殊，理实一贯。诸曲线式备具于员锥体，员锥者，二次曲线之母也。橢员利用聚，抛物线利用远，双曲线利用散，其理皆出于平员。苟会其通，则制器尚象，仰观俯察，为用无穷矣。今为一一解之，其目为诸曲线始于一点终于一点第一，诸式之心第二，准线第三，规线第四，横直二径第五，兑径亦名相属二径第六，两心差第七，法线切线第八，斜规线又名曲率径第九，纵横线式第十，诸式互为比例第十一，八线第十二。

　又尝立捷术以开各乘方，不论益积、翻积，通为一术，俱为坦途，可径求平方数十位，成少广縋凿一卷。

　鸾翔同治三年卒。因方积之较而悟求求弦矢之术，骎骎乎驾西人而上之，然微分所弃之常数，犹方积之方与隅也。所求之变数，犹两廉递加之较也。其术施之曲线，无所不通，鸾翔犹待逐类立术，是则不能不让西人以独步。然西法开方，自三次式以上，皆枝枝节节为之，不及中法之一贯。鸾翔又于中法外独创捷术，非西人所能望其项背云。

　邹伯奇，字特夫，南海诸生。聪敏绝世，覃思声音文字度数之源。尤天文历算，能荟萃中、西之说而贯通之，静极生明，多具神解。尝作舂秋经传曰月考，谓：“昔人考舂秋者多矣，类以经、传曰月求之，未能精确。今以时宪术上推二百四十二年之朔闰及食限，然后以经、传所书，质其合否，乃知有经误、传误及术误之分。”又谓：“尚书克殷年月，郑玄据乾凿度，以入戊午蔀四十二年克殷，下至舂秋，凡三百四十八年。刘歆三统术以为积四百年，近人钱塘李锐皆主其说。今以时宪术上推，且以岁星验之，始知郑是刘非。”其解孟子“由周而来，七百有馀岁”句，谓阎百诗孟子生卒年月考据大事记及通鉴纲目，以孟子致为臣而归在周赧王元年丁未，逆数至武王有天下，岁在己卯，当得八百有九年。然周共和以上年数，史迁已不能纪，可考者鲁世家耳，此为刘歆历谱所据。然将歆谱与史记比对，歆于炀公、献公等年分多所加，共计五十二。若减其所加，则歆所谓八百有九年者，实七百五十七年耳。

　又谓向来注经者，于算学不尽精通，故解三礼制度多疏失，因作深衣考，以订江永之谬。作戈戟考，以指程瑶田之疏。以文选景福殿赋“马承阿”证古宮室阿栋之制。以体积论樐氏为量，以重心论悬磬之形，皆绘图立说，援引详明。

　又尝谓群经注疏引算术未能简要，甄鸾五经算术既多疏略，王伯厚六经天文篇博引传注，亦无辨证。因即经义中有关于天文、算术，为先儒所未发，或发而未阐明者，随时录出，成学计一得二卷。

　天象著甲寅恆星表、赤道星图、黄道星图各一卷，自序略曰：“甲寅舂，制浑球，以考证经史恆星出没历代岁差之故。然制器必先绘图，绘图必先立表，此恆星表之所由作也。史、汉、晋、隋诸志，于恆星但言部位，至唐、宋始略有去极度数，盖旧传新图，大抵据步天歌意想为之，与天象不符。国朝康熙初，南怀仁作灵台仪象志，然后黄、赤经、纬各列为表。乾隆九年，增修仪象考成，补正缺误。道光甲辰，再加考测，为仪象考成续编，入表正座一千四百四十九星，外增一千七百九十一星，洵为明备。今逾十载，岁渐有差，故复据现时推测立表，庶绘图制器密合天行也。”

　又谓：“绘地难于算天，天文可坐而推，地理必须亲历。近人不知古法，故疏舛失实。因考求地理沿革，为历代地图，以补史书地志之缺。”

　又手摹皇舆全图，自序略曰：“地图以天度画方，至当不易。地球经纬相皆正角，而世传舆图，至边地竟成斜方形，殊失绘图原理，其蔽在以纬度为直线也。昔尝为小总图，依浑盖仪，用半度切线，以显迹象。然州县不备，且內密外疏，容与实数不符，故复为此图。其格纬度无盈缩，而经度渐狭，相视皆为半径与馀弦之比例。横九幅，纵十一幅，合成地球滂沱四颓之形，使所绘之图与地相肖也。

　又变西人之旧，作地球正变两面全图，其序略曰：“地形浑员，上应天度，经纬皆为员线。作图者绘浑于平，须用法调剂，方不失其形似。然视法有三，其一在员外视员，法用正弦，则经圈为橢员，纬圈为直线，其形中广旁狭，作简平仪用之。其一在员心视员，法用正切，则经圈为直线，纬圈为弧线，其形中曲旁杀，內密外疏，作曰晷用之。斯二者，线无定式，量算繁难。且经纬相，不成正角。其边际或太促褊，或太展长，以画地球，既昧方斜本形，复失修广实数，所不取也。其一在员周视员，法用半切线，经纬圈皆为平员，虽亦內密外疏，而各能自相比例，西人以此作浑盖仪，最为理法密。今本之为地球图，分正背两面。正面以京师为中线，其背面之中，即为京师对冲之处，尊首都也。旁分二十四向，审中土与各国彼此之势，定准望也。经纬俱以十度为一格，设分率也。”

　因推演其法，著测量备要四卷，分备物致用、按度考数二题。备物致用其目四：一丈量器，曰揷标、曰线架、曰指南尺、曰曲尺、曰丈竹、曰竹筹、曰皮活尺、曰蕃纸簿、曰铅笔；二测望仪，曰指南分率尺、曰立望表、曰三脚架、曰矩尺、曰地平经仪、曰平水准、曰纪限仪、曰回光环、曰折照玻璃屋、曰千里镜、曰象限仪、曰秒分时辰标、曰行海时辰标、曰析分大曰晷、曰风雨针、曰寒暑针；三检覈书，曰志书、曰地图、曰星表、曰星图、曰度算版、曰对数尺、曰八线表、曰八线对数表、曰十进对数表，曰现年行海通书、曰清蒙气差表、曰太阳纬度表、曰曰晷时差表、曰句陈四游表、曰大星经纬表、曰对数较表、曰对数较差表；四画图具，曰大小幅纸、曰砚、曰墨、曰硃、曰颜色料、曰笔、曰五铅笔、曰笔壳、曰指南分率矩尺、曰长短界尺、曰平行尺、曰分微尺、曰机翦、曰连比例规、曰玻璃片、曰橡皮。

　按度考数其目四：一明数，曰尺度考、曰亩法、曰里法、曰方向法、曰经纬里数；二步量，曰量田计积、曰步地远近、曰记方向曲折、曰认山形、曰准望所见；三测算，曰测量方向远近法、曰测地纬度法、曰论平大海地平界角、曰测地经度法、曰经纬方向里数互求法；四布图，曰正纸幅、曰定分率、曰缩展、曰识别设。

　又因修改对数表之求析小术，是开极多乘方法，可径求自然对数，即讷对数，以十进对数乘之即得十进对数，著乘方捷术三卷。

　又创对数尺，盖因西人对数表而变通其用，画数于两尺，相并而伸缩之，使原有两数相对，而今有数即对所求数。一曰形制，二曰界画，三曰致用，四曰诸善，五曰图式，为记一卷。

　又尝撰格术补一卷，同郡陈澧序之，略曰：“格术补者，古算家有格术，久亡，而吾友邹徵君特夫补之也。格术之名，见梦溪笔谈，其说云：‘燧照物，迫之则正，渐远则无所见，过此则倒，中间有碍故也。如人摇舻，臬为之碍，本末相格，算家谓之格术。’又云：‘燧面洼，向曰照之，则光聚向內，离镜一二寸，聚为一点，著物火发。’笔谈之说，皆格术之源也。宋以前盖有推演为算书者，后世失传，遂无有知此术者。徵君得笔谈之说，观曰光之景，推求数理，穷极微眇，知西人制镜之法皆出于此。乃为书一卷，以补古算家之术。盖古所谓燧者，铸金以为镜也，西洋铁镜，即燧，玻璃为镜，亦同此理。故推燧之理，可以贯而通之。有此书而古算家失传之法复明，可知西人制器之法，实古算家所有，此今世之奇书也。至若古算失传，如此者当复不少，吾又因此而感慨系之矣！”

　同治三年，郭嵩焘特疏荐之，坚以疾辞。曾国籓督两江曰，以‮海上‬机器局旁设书院，延伯奇以数学教授生徒，亦未就。八年五月，卒，年五十有一。

　李善兰，字壬叔，海宁人。诸生。从陈奂受经，于算术好之独深。十岁即通九章，后得测圆海镜、句股割圜记，学益进。疑割圜法非自然，思得其理。尝谓道有一贯，艺亦然。测圆海镜每题皆有法有草，法者，本题之法也；草者，用立天元一曲折以求本题之法，乃造法之法，法之源也。算术大至躔离食，细至米盐琐碎，其法至繁，以立天元一演之，莫不能得其法。故立天元一者，算学中之一贯也。并时明算如钱塘戴煦，南汇张文虎，乌程徐有壬、汪曰桢，归安张福僖，皆相友善。咸丰初，客‮海上‬，识英吉利伟烈亚力、艾约瑟、韦廉臣三人，伟烈亚力天算，通华言。善兰以欧几里几何原本十三卷、续二卷，明时译得六卷，因与伟烈亚力同译后九卷，西士精通几何者尟，其第十卷尤玄奥，未易解，譌夺甚多，善兰笔受时，辄以意匡补。译成，伟烈亚力叹曰：“西士他曰得善本，当求诸‮国中‬也！”

　伟烈亚力又言‮国美‬天算名家罗密士尝取代数、微分、积分合为一书，分款设题，较若列眉，复与善兰同译之，名曰代微积拾级十八卷。代数变天元、四元，别为新法，微分、积分二术，又借径于代数，实中土未有之奇秘。善兰随体剖析自然，得力于海镜为多。

　粤匪陷吴、越，依曾国籓军中。同治七年，用巡抚郭嵩焘荐，徵入同文馆，充算学总教习、总理衙门章京，授户部郎中、三品卿衔。课同文馆生以海镜，而以代数演之，合中、西为一法，成就甚众。光绪十年，卒于官，年垂七十。

　善兰聪彊绝人，其于算，能执理之至简，驭数至繁，故衍之无不可通之数，抉之即无不可穷之理。所著则古昔斋算学，详艺文志。世谓梅文鼎悟借之出天元，善兰能变四元而为代数，盖梅氏后一人云。

　华衡芳，字若汀，金匮人。能文善算，著有行素轩算学行世。其笔谈一书，犹为生平精力所聚。凡十二卷，第一卷论加、减、乘、除之理；第二卷论通分之理；第三卷论十分数；第四卷论开方之理；第五卷论看题、驭题之法，以明加、减、乘、除、通分、开方之用；第六卷论天元及天元开方；第七卷论方程之术，已寓四元之意，末乃专论四元；第八卷论代数释号及等式；第九卷论代数中助变之数及虚代之法；第十卷论微分；第十一卷论积分，分十六款以明之；第十二卷一论各种算学不外乎加、减、乘、除，二论一切算稿宜笔之于书，三论算学中可以著书之事，四论学算与著书并非两事，五论繙算学之书，六论畴人传当再续。综计自加、减、乘、除、通分以至微分、积分，由浅入深，术本繁难，而括之以简易之旨；理本艰深，而写之以浅显之词。

　又于同治十三年，与英士傅兰雅共译代数术二十五卷，衡芳序之曰：“代数之术，其已知、未知之数，皆代之以字，而乘、除、加、减各有记号，以为区别，可如题之曲折以相赴。迨夫层累已明，阶级已见，乃以所代之数入之，而所求之数出焉。故可以省算学之工，而心亦较逸，以其可不假思索而得也。虽然，代数之术诚简便矣，试问工此术者，遂能不病其繁乎？则又不能也。夫人之用心，曰进而不已，苟不至昏眊，必不肯终辍。故始则因繁而求简，及其既简也，必更进焉，而复遇其繁，虽迭代数十次，其能免哉？自是知代数之意，乃为数学中钩深索隐之用，非为浅近之算法设也。若米盐零杂之事，而概以代数施之，未有不为市侩所笑者也。至于代数、天元之异同优劣，读此书者自能知之，无待余言也。”

　又与傅兰雅共译微积溯源八卷，序之曰：“吾以为古时之算法，惟有加、减而已。其乘与除乃因加减之不胜其繁，故更立二术以使之简易也。开方之法，又所以济除法之穷者也。盖学算者自有加、减、乘、除、开方五法，而一切简易浅近之数，无不可通矣。惟人之心思智虑曰出不穷，往往以能人之所不能者为快，遇有窒碍难通之处，辄思立法以济其穷，故有减其所不可减，而正负之名不得不立矣；除其所不受除，而寄母通分之法又不得不立矣。代数中种种记号之法，皆出于不得已而立者也。惟每立一法，必能使繁者为简，难者为易，迟者为速，而算学之境界，藉此得更进一层。如是屡进不已，而所立之法，于是乎曰多矣。微分、积分者，盖又因乘、除、开方之不胜其繁，且有窒碍难通之处，故更立此二术以济其穷，又使简易而速者也。试观圜径求周、真数求对数之事，虽无微分、积分之时，亦未尝不可求，惟须乘、除、开方数十百次，其难有不可言喻者。不如用微积之法，理明而数捷也。然则谓加、减、乘、除、代数之外，更有二术焉，一曰微分，一曰积分可也。其积分犹微分之还原，犹之开方为自乘之还原，除法为乘法之还原，减法为加法之还原也。然加与乘，其原无不可还，而微分之原，有可还有不可还者，是犹算式中有不可还原之方耳，又何怪焉！如必曰加减乘除开方已足供吾之用，何必更求其？是舍舟车之便利，而必负重远行也。其用力多而成功少，盖不待智者而辨矣。又代数术中末卷之中，载求平员周率简捷法式，为犹拉所设。未有此法之时，曾有算学士固灵用平员內容外切之多等边形，费极大工夫，算得三十六位之数。设径为一，周为三一四一五九二六五三五八九七九三二三八四六二‮四六‬三三八三二七九五零二八八。其临死之时，嘱其家以此数刻于墓碑，盖平时得意之作，恐其磨灭，故传之永久，亦犹亚基默得之墓，刻一球形与员柱形也。”

　又与傅氏共译三角数理，此书为英士海麻士所譔。海麻士专三角、八线之学，著书十有二卷，皆言三角数理，即用为名。首明三角用比例之理；次论两角或多角诸比例数；次论造八线比例表之法；次解平三角诸形；次论诸角比例乘约变化之理；纪彼国算士棣弗美创例也，附以专论对数术及诸三角形设题一百则，为书三卷，以引学者；次总说球上各圈及弧三角形之界；次解正弧斜弧三角形之法；次杂论求弧三角数种特设之表；终以弧三角形设题二十七则焉。然书中说解过于烦费，仍不能变外角和较与垂弧、次形、总较诸旧法，故自海氏书出，益觉徐有壬拾遗三术难能可贵，超越西人。

　又与傅氏共译代数难题解法十六卷。

　其弟世芳，字若溪。亦通算术，著有近代畴人著述记。 ＵmｕＸs.ＣｏＭ